Mattefix
Logga in

Gymnasiet · fortsättning

Derivata – förändringshastighet och derivering

Derivata hjälper dig att beskriva hur snabbt något förändras. Börja med förändringshastighet och fortsätt med deriveringsregler.

Prova sex frågor

Vad betyder derivatan i en punkt?

Derivatan f′(a) beskriver funktionens förändringshastighet vid x = a. I en graf är den lutningen på tangenten i punkten (a, f(a)).

f′(3) = 5 betyder därför att tangentens lutning är 5 vid x = 3. Det säger inte att f(3) = 5. f(3) är funktionens värde, medan f′(3) beskriver hur snabbt värdet ändras där.

En positiv derivata betyder att funktionen växer i punkten och en negativ att den avtar. Derivatan kan vara olika stor vid olika x-värden.

5.1Tillväxt och förändringshastighet

Tänk hastighet! Förändringshastighet är exakt samma idé som hastighet i fysik: hur mycket något förändras per tidsenhet. När det vi mäter är sträcka, kallar vi det hastighet. När det är något annat (kronor, höjd, antal), kallar vi det förändringshastighet — men matematiken är densamma.

Tillväxt är hur mycket en storhet förändras. Förändringshastighet är var snabbt den förändras per tidsenhet.

tid y t₁ t₂ Δt Δy

Tillväxt mellan två tidpunkter:

Δy = y(t₂) − y(t₁)

Förändringshastighet = tillväxt per tidsenhet:

Förändringshastighet = Δy / Δt

Tänk hastighet i bil: y är sträcka, t är tid. Δy/Δt är genomsnittlig hastighet.

Exempel

En växt är 5 cm hög vid start (t = 0) och 17 cm efter 4 veckor.

Tillväxt: Δy = 17 − 5 = 12 cm
Förändringshastighet: Δy/Δt = 12 cm / 4 veckor = 3 cm/vecka
Tolkning: i genomsnitt växte växten 3 cm per vecka.
Enheter spelar roll! En förändringshastighet har alltid en enhet — kr/dag, m/s, cm/vecka. Ta enheten med i svaret.

5.2Genomsnittlig förändringshastighet

Den genomsnittliga förändringshastigheten till en funktion f mellan två x-värden är lutningen till sekanten genom de två punkterna.

Genomsnittlig förändringshastighet = (f(b) − f(a)) / (b − a)
(a, f(a)) (b, f(b)) sekant

Sekanten är linjen som skär genom kurvan i de två punkterna. Lutningen till sekanten = genomsnittlig förändringshastighet.

Andra vanliga skrivsätt:

Δf/Δx = (f(x + h) − f(x)) / h

Exempel

För f(x) = x², hitta den genomsnittliga förändringshastigheten från x = 1 till x = 4.

Räkna ut f(1) och f(4). f(1) = 1, f(4) = 16
Sätt in i formeln. (f(4) − f(1)) / (4 − 1) = (16 − 1) / 3
Räkna ut. 15 / 3 = 5
Svar: genomsnittlig förändringshastighet är 5.

5.7Derivering av polynomfunktioner

För polynom behöver du bara dessa regler:

Konstantregeln
(c)' = 0
Ex: (7)' = 0
x-regeln
(x)' = 1
Ex: y = x ⇒ y' = 1
Potensregeln
(xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹
Ex: (x⁵)' = 5x⁴
Konstant gånger
(c · f)' = c · f'
Ex: (4x³)' = 4·3x² = 12x²
Summaregeln
(f + g)' = f' + g'
Derivera term för term
Differensregeln
(f − g)' = f' − g'
Också term för term

Så gör du det i praktiken

Derivera varje term för sig, efter potensregeln:

Ta talet framför (exponenten) ned som faktor.
Minska exponenten med 1.
Konstanttermen försvinner.

Exempel

f(x)f'(x)
50
x1
x²2x
x³3x²
4x³12x²
x³ − 3x + 53x² − 3
2x⁴ − 7x² + x − 18x³ − 14x + 1
(1/2)x² + 3xx + 3

Steg för steg: derivera f(x) = 2x⁴ − 7x² + x − 1

Derivera varje term. (2x⁴)' = 2 · 4x³ = 8x³ (−7x²)' = −7 · 2x = −14x (x)' = 1 (−1)' = 0
Sammanställ. f'(x) = 8x³ − 14x + 1
Vanligt fel: att glömma att multiplicera med exponenten. (x⁵)' är inte x⁴ — det är 5x⁴.
Här tillämpar vi reglerna på polynom.

Funktioner som sin x, cos x, ex, ln x, bråk (f/g) och sammansatta funktioner (t.ex. (2x+1)5) har egna deriveringsregler. De behandlas i mer avancerad matematik. Här tränar du på polynomreglerna ovan. GeoGebra kan hjälpa till med andra funktioner.

5.6Praktisk användning av derivering

Derivatan är nyckeln till att hitta maximi- och minimipunkter, brantaste punkt, och hur funktionen beter sig.

Hitta maximi- och minimipunkt

Derivera funktionen. f(x) → f'(x)
Sätt f'(x) = 0 och lös. Dessa x-värden är kandidater till maximum/minimum.
Skapa teckentabell för f'(x).
  • f' går från + till −: maximipunkt
  • f' går från − till +: minimipunkt
  • f' behåller samma tecken: terrasspunkt
Sätt x tillbaka i f för att hitta y-koordinaten.

Exempel: f(x) = x³ − 3x

Derivera. f'(x) = 3x² − 3
Sätt f'(x) = 0. 3x² − 3 = 0 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1
Teckentabell för f'(x) = 3(x − 1)(x + 1):
Intervallx < −1−1 < x < 1x > 1
f'(x)+−+
f(x)växertar mindre värdenväxer
Tolka: f' går från + till − vid x = −1 → maximipunkt. f' går från − till + vid x = 1 → minimipunkt.
Y-koordinater: f(−1) = (−1)³ − 3(−1) = −1 + 3 = 2 f(1) = 1 − 3 = −2
Svar: Maximipunkt (−1, 2), minimipunkt (1, −2).

Tangentens ekvation

Linjen som tangerar grafen i punkten (a, f(a)) har lutning f'(a) och går genom punkten. Med enpunktsformeln:

y − f(a) = f'(a) · (x − a)

Optimering

Många textuppgifter frågar: «Vad är det största/minsta …?» Det är optimering. Strategi:

  1. Skriv ett uttryck för det du vill maximera/minimera som funktion av en variabel.
  2. Skriv ned definitionsmängden — vad är fysiskt möjliga värden?
  3. Derivera.
  4. Sätt derivatan = 0, hitta kandidaterna.
  5. Kontrollera att det är maximi- eller minimipunkt (teckentabell).
  6. Kontrollera också ändpunkterna på definitionsmängden — max/min kan ligga där!
Glöm inte ändpunkterna! Maximum kan ligga där derivatan = 0, eller på en kant av definitionsmängden.

Exempel 1: maximera area (bonden med 100 m staket)

En bonde har 100 m staket och vill skapa ett rektangulärt fält. Hur stort kan det bli?

Variabler: längd l, bredd b. Omkrets: 2l + 2b = 100, så b = 50 − l.
Definitionsmängd: 0 < l < 50 (båda sidor måste vara positiva).
Area som funktion av l: A(l) = l·(50 − l) = 50l − l²
Derivera: A'(l) = 50 − 2l
Sätt A' = 0: 50 − 2l = 0 ⇒ l = 25
Kontrollera: A'(20) = 10 > 0, A'(30) = −10 < 0. Byter från + till − → maximipunkt.
Kontrollera ändpunkterna: vid l = 0 och l = 50 blir arean 0. Maximipunkten inuti intervallet vinner.
Svar: kvadrat 25 × 25 m ger största area = 625 m².

Exempel 2: minimera materialåtgång

Ett öppet rektangulärt kar med kvadratisk botten ska rymma 32 liter. Vad är minsta möjliga yta? (Botten + 4 sidor.)

Variabler: bottensida x dm, höjd h dm. Volym: x²·h = 32, så h = 32/x².
Yta (en botten + fyra sidor): O(x) = x² + 4xh = x² + 4x · 32/x² = x² + 128/x
Definitionsmängd: x > 0.
Derivera (här måste vi använda att d/dx(1/x) = −1/x²): O'(x) = 2x − 128/x²
Sätt O' = 0: 2x = 128/x² ⇒ 2x³ = 128 ⇒ x³ = 64 ⇒ x = 4
Kontroll av minimipunkt: O'(2) = 4 − 32 = −28 < 0, O'(6) = 12 − 128/36 ≈ 8,4 > 0. Byter från − till + → minimipunkt.
Svar: botten är 4 × 4 dm, höjden h = 32/16 = 2 dm. Minsta yta = 16 + 32 = 48 dm².

Dags att prova själv?

Prova sex frågor i lugn och ro och få tips om vilket avsnitt du kan börja med. Du behöver inget konto.

Prova sex frågor
Räkna med bråk Sin, cos & tan Alla matteguider

Utvalda genomgångar för övning och repetition. Nivåer kan variera mellan exemplen.