Trigonometri – sinus, cosinus och tangens

Vad är sin, cos och tan?

I en rätvinklig triangel med vinkel u:

sin(u) = motstående / hypotenusa

cos(u) = närliggande / hypotenusa

tan(u) = motstående / närliggande = sin(u) / cos(u)

Minnesregel — SOH-CAH-TOA:

Sin = Opposite / Hypotenuse (motstående/hypotenusa)
Cos = Adjacent / Hypotenuse (närliggande/hypotenusa)
Tan = Opposite / Adjacent (motstående/närliggande)

Säg det högt ett par gånger — så blir den lättare att komma ihåg.

Kom ihåg: dessa definitioner gäller bara i rätvinkliga trianglar för vinklar 0°-90°. För andra vinklar (över 90°, negativa, eller i inte-rätvinkliga trianglar) behöver vi enhetscirkeln, och satserna sinussatsen och cosinussatsen.

Viktiga värden

Grader	cos	sin	tan
0°	1	0	0
30°	√3 / 2	1 / 2	√3 / 3
45°	√2 / 2	√2 / 2	1
60°	1 / 2	√3 / 2	√3
90°	0	1	inte definierad
120°	−1 / 2	√3 / 2	−√3
135°	−√2 / 2	√2 / 2	−1
150°	−√3 / 2	1 / 2	−√3 / 3
180°	−1	0	0

Varför «inte definierad»? tan(90°) = sin(90°)/cos(90°) = 1/0, och vi kan inte dividera med 0. Detsamma gäller för tan(270°). Detta ger vertikala asymptoter i tan-grafen.

Rationalisera nämnaren! Skriv tan(30°) = √3/3, inte 1/√3. Båda uttrycken är lika stora; här skriver vi svaret med rationell nämnare.

Minnesregel: cos-värdena går «nedåt» (1 → 0) medan sin-värdena går «uppåt» (0 → 1) från 0° till 90°. De är «spegelvända» av varandra. Från 90° till 180° är sin igen avtagande och cos blir negativ — därför minustecknen över 90°.

Värdemängd

Vilka värden kan sin, cos och tan ta?

Funktion	Värdemängd	Period
sin x	−1 ≤ y ≤ 1	360°
cos x	−1 ≤ y ≤ 1	360°
tan x	alla reella tal (men ej definierad vid 90° + n·180°)	180°

Konsekvens: Ekvationen sin(x) = 1,5 har ingen lösning. Sin kan aldrig bli större än 1.

Enhetscirkeln

Enhetscirkeln är en cirkel med radie 1 och centrum i origo.

För en vinkel u från positiv x-axel:

x-koordinaten till punkten på cirkeln = cos(u)
y-koordinaten till punkten på cirkeln = sin(u)

Därför gäller alltid: cos²(u) + sin²(u) = 1

Enhetscirkeln låter oss förlänga sin och cos till alla vinklar (också över 90° och negativa vinklar).

Var kommer sin² + cos² = 1 från?

Direkt från Pythagoras sats! Punkten (cos u, sin u) ligger på enhetscirkeln, dvs. avstånd 1 från origo. Den vertikala kateten är sin u, den horisontella kateten är cos u, och hypotenusan är 1.

Pythagoras: cos²(u) + sin²(u) = 1² = 1

Praktisk användning: Om du vet sin(u) = 0,6, kan du hitta cos(u) utan att räkna ut vinkeln: cos²(u) = 1 − 0,36 = 0,64 ⇒ cos(u) = ±0,8 (beroende på kvadrant). Mer om Pythagoras.

Teckenregel för de fyra kvadranterna

När vinkeln ökar från 0° till 360°, rör punkten sig genom fyra kvadranter. I varje kvadrant byter sin, cos och tan tecken:

Kvadrant	Vinkel	sin	cos	tan
I	0°–90°	+	+	+
II	90°–180°	+	−	−
III	180°–270°	−	−	+
IV	270°–360°	−	+	−

Minnesregel — «Alla Sin Tan Cos»:

Alla (I): alla tre är positiva
Sin (II): bara sin är positiv
Tan (III): bara tan är positiv
Cos (IV): bara cos är positiv

Gå moturs runt cirkeln och läs «A-S-T-C».

Sinussatsen

I varje triangel gäller:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

Varje sida dividerad med sinus till sin motstående vinkel ger samma tal.

Används när du känner en sida och två vinklar (VSV), eller två sidor och en motstående vinkel.

Vilken form ska du använda?

Båda formerna nedan är matematiskt likvärdiga — den ena är bara vänd upp ned. Men en gör arbetet enklare beroende på vad du letar efter:

Hitta en SIDA
a / sin(A) = b / sin(B)

Sidor i täljaren i bråket. Du multiplicerar med sin och isolerar sidan i ett steg.

Exempel: känner A, B, b — hitta a.
a = b · sin(A) / sin(B)

Hitta en VINKEL
sin(A) / a = sin(B) / b

Vinklar i täljaren i bråket. Du isolerar sin(B) direkt och använder invers sinus.

Exempel: känner a, A, b — hitta B.
sin(B) = b · sin(A) / a, så B = sin⁻¹(…)

Minnesregel: det du letar efter, vill du ha i täljaren i bråket. Då slipper du att korsmultiplicera först.

Cosinussatsen

Generalisering av Pythagoras sats för alla trianglar:

c² = a² + b² − 2ab · cos(C)

När C = 90° → cos(90°) = 0, och vi får tillbaka Pythagoras: c² = a² + b².

Används när du känner tre sidor (SSS) eller två sidor och vinkeln mellan dem (SVS).

Dags att prova själv?

Prova sex frågor i lugn och ro och få tips om vilket avsnitt du kan börja med. Du behöver inget konto.

Prova sex frågor