Area och volym
Area av plana figurer
Rektangel
A = l · b
Kvadrat
A = s²
Triangel
A = g · h / 2
Parallellogram
A = g · h
Parallelltrapets
A = (a + b)·h / 2
Cirkel
A = π r², O = 2πr
Volym av geometriska kroppar
Rakt prisma / rätblock
V = l · b · h
Kub
V = s³
Cylinder
V = π r² h
Kon
V = π r² h / 3
Pyramid
V = G · h / 3
Klot
V = ⁴⁄₃ π r³, O = 4πr²
Exempel
Triangel: Bas 10 cm, höjd 6 cm.
A = (10 · 6) / 2 = 30 cm²
Cirkel: Radie 5 cm.
A = π · 5² = 25π ≈ 78,5 cm²
Cylinder: Radie 3 cm, höjd 10 cm.
V = π · 3² · 10 = 90π ≈ 282,7 cm³
Klot: Radie 4 cm.
V = (4/3) · π · 4³ = (256/3)π ≈ 268,1 cm³
Pythagoras sats
I en rätvinklig triangel gäller:
a2 + b2 = c2
Där c är hypotenusan (den längsta sidan, mot den räta vinkeln) och a och b är de två kateterna.
Användning av Pythagoras
Hitta hypotenusan: c = √(a2 + b2)
a = 3, b = 4: c = √(9 + 16) = √25 = 5
Hitta en katet: a = √(c2 − b2)
c = 13, b = 5: a = √(169 − 25) = √144 = 12
Kontrollera rätvinklig triangel: Stämmer a2 + b2 = c2?
3, 4, 5: 9 + 16 = 25 ✓ → Rätvinklig!
Bevisidé (geometrisk)
Rita en kvadrat med sida (a + b). Placera fyra kopior av den rätvinkliga triangeln i hörnen. Då blir det en liten kvadrat kvar i mitten med sida c.
Hela arean kan räknas på två sätt:
- Yttre kvadrat: (a + b)²
- 4 trianglar + inre kvadrat: 4 · (ab/2) + c²
Sätter vi dessa lika, får vi beviset:
(a + b)2 = 4 · ab2 + c2 ⇒ a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 ⇒ a2 + b2 = c2
Dags att prova själv?
Prova sex frågor i lugn och ro och få tips om vilket avsnitt du kan börja med. Du behöver inget konto.
Prova sex frågor