Mattefix
Logga in

Gymnasiet · utvalda delar

Kvadreringsregler och faktorisering – med exempel

När du känner igen mönstret i ett uttryck blir det lättare att utveckla eller faktorisera det. Här ser du reglerna i användning.

Prova sex frågor

Kvadreringsreglerna

Första kvadreringsregeln

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Exempel: (x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9

Exempel: (2x + 5)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 5 + 52 = 4x2 + 20x + 25

Andra kvadreringsregeln

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Exempel: (x − 4)2 = x2 − 8x + 16

Exempel: (3x − 2)2 = 9x2 − 12x + 4

Konjugatregeln

(a + b)(a − b) = a2 − b2

Exempel: (x + 7)(x − 7) = x2 − 49

Exempel: (3x + 4)(3x − 4) = 9x2 − 16

Identiteter

Kvadreringsreglerna och konjugatregeln är identiteter — de gäller för alla värden av a och b. En identitet är inte en ekvation vi löser, men en omskrivning som alltid stämmer.

Första kvadreringsregeln
(a+b)2 = a2+2ab+b2
Andra kvadreringsregeln
(a−b)2 = a2−2ab+b2
Konjugatregeln
(a+b)(a−b) = a2−b2
Vanligt fel: (a + b)2 ≠ a2 + b2. Man glömmer ofta dubbla produkten 2ab!

Kvadratkomplettering

För att skriva x² + bx som en kvadrat tar du hälften av b, kvadrerar det talet och både lägger till och drar bort samma värde. Då ändrar du inte uttryckets värde.

x² + bx = (x + b/2)² − (b/2)²

För x² + 8x är halva åtta lika med fyra: x² + 8x = (x + 4)² − 16. Kontrollera genom att utveckla parentesen: x² + 8x + 16 − 16.

För x² − 6x + 5 blir halva −6 lika med −3: (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4. Talet 5 från ursprungsuttrycket måste följa med.

Faktorisering och förkortning

Faktorisering av andragradsuttryck

När vi känner rötterna x1 och x2, kan vi skriva:

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)

Exempel 1: Faktorisera x2 − 5x + 6

Hitta rötterna: Summa 5, produkt 6 → talen 2 och 3. x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

Exempel 2: Faktorisera x2 − 4

Konjugatregeln: x² − 4 = x² − 2² = (x + 2)(x − 2)

Exempel 3: Faktorisera 2x2 + 6x

Gemensam faktor: 2x² + 6x = 2x(x + 3)

Förkortning av bråkuttryck

Faktorisera täljare och nämnare, och stryk gemensamma faktorer:

Exempel: Förkorta x2 − 9x + 3

Faktorisera täljaren med konjugatregeln: x² − 9 = (x + 3)(x − 3)
Förkorta: (x + 3)(x − 3) / (x + 3) = x − 3   (för x ≠ −3)

Exempel: Förkorta x2 − x − 6x2 − 4

Faktorisera täljare: x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2)
Faktorisera nämnare: x² − 4 = (x + 2)(x − 2)
Förkorta (x + 2): (x − 3)(x + 2) / ((x + 2)(x − 2)) = (x − 3) / (x − 2)   (för x ≠ −2)

Ekvationer med variabeln i nämnare

När x står i nämnaren, måste vi ange krav till x (nämnaren kan inte vara noll) och kontrollera för falska lösningar.

Exempel 1 (giltig lösning): Lös 1x − 2 + 3 = xx − 2

Krav: x ≠ 2 (nämnaren kan inte vara noll).
Multiplicera båda sidor med (x − 2): 1 + 3(x − 2) = x
Utveckla och lös: 1 + 3x − 6 = x   ⇒   3x − 5 = x   ⇒   2x = 5   ⇒   x = 2,5
Kontrollera kravet: x = 2,5 ≠ 2 ✓ Lösningen är giltig.

Exempel 2 (falsk lösning): Lös xx − 3 = 3x − 3

Krav: x ≠ 3 (nämnaren kan inte vara noll).
Multiplicera båda sidor med (x − 3): x = 3
Kontrollera kravet: x = 3 bryter med x ≠ 3!   Falsk lösning.
Slutsats: Ekvationen har ingen lösning.
Varför blir lösningen falsk? När vi multiplicerade med (x − 3), antog vi att det var tillåtet — alltså att x ≠ 3. Om svaret blir x = 3, har vi gjort en ogiltig operation. Kontrollera alltid mot kravet till sist.

Dags att prova själv?

Prova sex frågor i lugn och ro och få tips om vilket avsnitt du kan börja med. Du behöver inget konto.

Prova sex frågor
Derivata Sin, cos & tan Andragradsekvationer Alla matteguider

Utvalda genomgångar för övning och repetition. Nivåer kan variera mellan exemplen.