Linjära funktioner – förstå y = kx + m

3.1Funktionsbegreppet

En funktion är en regel som tar in ett värde och ger ut ett bestämt värde tillbaka. Tänk dig en maskin: du stoppar in ett tal x, och maskinen ger ut talet f(x).

Exempel: om f(x) = 2x + 3, så:

f(0) = 2·0 + 3 = 3
f(1) = 2·1 + 3 = 5
f(5) = 2·5 + 3 = 13

För varje x finns det en och bara en värde f(x).

Det vertikala linjetestet

Dra en vertikal linje genom grafen:

Korsar den grafen i högst en punkt för vilket x-värde som helst → det är en funktion.
Korsar den i två eller fler punkter → det är inte en funktion.

En cirkel är till exempel inte en funktion, eftersom en vertikal linje korsar den i två punkter.

Definitionsmängd och värdemängd

Två viktiga begrepp när vi pratar om funktioner:

Definitionsmängden (D_f): alla x-värden funktionen kan ta in.
Värdemängden (V_f): alla y-värden funktionen ger ut.

Exempel: För f(x) = √x måste x ≥ 0, så D_f = [0, →⟩ och V_f = [0, →⟩. För g(x) = 1/x kan inte x = 0, så D_g = alla tal förutom 0.

Grafen till en funktion

Grafen är alla punkter (x, f(x)) inritade i ett koordinatsystem.

För att läsa av grafen:

Välj ett x-värde på x-axeln.
Gå rätt upp (eller ned) till grafen.
Gå horisontellt till y-axeln — det är f(x).

Exempel: vid x = 1 är f(1) = 5, så punkten (1, 5) ligger på grafen.

Värdetabell

En värdetabell visar några utvalda (x, f(x))-par. Exempel för f(x) = x² − 2:

x	−2	−1	0	1	2
f(x)	2	−1	−2	−1	2

Tips: En värdetabell är användbar när du ska rita en graf för hand. Välj gärna 5–7 rimliga x-värden runt 0.

3.3Linjära funktioner

En linjär funktion har grafen som en rät linje. Generell form:

f(x) = a·x + b

a = lutning (hur brant linjen är)
b = konstantterm (skärning med y-axeln)

Lutningen mellan två punkter (x₁, y₁) och (x₂, y₂):

a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

a > 0: linjen stiger
a < 0: linjen sjunker
a = 0: horisontell linje

Enpunktsformeln

Om du känner en punkt (x₁, y₁) och lutningen a:

y − y₁ = a · (x − x₁)

Exempel: hitta linjen genom (1, 2) och (3, 8)

Hitta lutningen a. a = (8 − 2) / (3 − 1) = 6/2 = 3

Använd enpunktsformeln. Med (1, 2) som känd punkt. y − 2 = 3·(x − 1)

Förenkla. y = 3x − 3 + 2 = 3x − 1

Svar: linjen är y = 3x − 1.

Linjära tillväxtmodeller

Använd en linjär funktion när något växer eller minskar med samma mängd per tidsenhet (konstant ökning). Exempel: en bil som kör i konstant hastighet, ett bassäng som fylls med konstant vattenmängd, en månatlig avgift.

3.2Skärningspunkter

Skärningspunkter är punkter där grafen korsar en axel, eller där två grafer korsar varandra.

Skärning med y-axeln

Sätt x = 0 i funktionsuttrycket. Då hittar du y-koordinaten där grafen korsar y-axeln.

Skärning med y-axeln = (0, f(0))

Exempel: f(x) = 3x − 6 ⇒ f(0) = −6. Grafen korsar y-axeln i (0, −6).

Skärning med x-axeln (nollställen)

Sätt f(x) = 0 och lös för x. Dessa x-värden kallas nollställen.

Skärning med x-axeln: lös f(x) = 0

Exempel: f(x) = x² − 4 ⇒ x² − 4 = 0 ⇒ x = ±2. Nollställena är (−2, 0) och (2, 0).

Inte alla grafer har nollställen! För f(x) = x² + 1 får vi x² = −1, som inte har någon lösning bland reella tal. Grafen ligger helt över x-axeln och korsar den aldrig. Det är helt i sin ordning — det betyder bara att f inte har nollställen.

Skärning mellan två grafer

Två grafer möts där f(x) = g(x). Lös ekvationen för x, och hitta sedan y-värdet genom att sätta x in i en av funktionerna.

Skärning f och g: lös f(x) = g(x)

Exempel: f(x) = 2x + 1 och g(x) = −x + 4. Sätt lika: 2x + 1 = −x + 4 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1. Då blir y = f(1) = 3. Skärning i (1, 3).

Dags att prova själv?

Prova sex frågor i lugn och ro och få tips om vilket avsnitt du kan börja med. Du behöver inget konto.

Prova sex frågor