Andragradsekvationer – faktorisering och pq-formeln

Vad är en andragradsekvation?

En andragradsekvation kan skrivas ax² + bx + c = 0, där a inte är noll. Den högsta potensen av x är två. Exempelvis är x² − 5x + 6 = 0 en andragradsekvation. Däremot är 5x + 6 = 0 en förstagradsekvation.

Vi arbetar här med reella tal. Då kan ekvationen ha två olika lösningar, en dubbelrot eller inga lösningar. Börja med att samla alla termer på ena sidan och förenkla. Välj sedan en metod som passar uttrycket.

Om ekvationen redan är x² = 9 kan du ta kvadratroten direkt: x = 3 eller x = −3. Båda talen ger nio när de multipliceras med sig själva.

Lös genom faktorisering

I ekvationen x² − 5x + 6 = 0 letar vi efter två tal vars summa är −5 och vars produkt är 6. Talen är −2 och −3.

En produkt är noll om minst en faktor är noll. Detta kallas nollproduktmetoden.

1. Skriv (x − 2)(x − 3) = 0.
2. Sätt den första faktorn till noll: x − 2 = 0 ger x = 2.
3. Sätt den andra faktorn till noll: x − 3 = 0 ger x = 3.

Kontrollera i den ursprungliga ekvationen: 2² − 5 · 2 + 6 = 0 och 3² − 5 · 3 + 6 = 0. Båda lösningarna stämmer.

Behöver du repetera hur parenteserna fungerar? Läs guiden om kvadreringsregler och faktorisering.

När använder du pq-formeln?

För ekvationer på formen x² + px + q = 0 kan du använda pq-formeln. Om talet framför x² inte är ett måste du först dividera hela ekvationen med det talet.

I x² − 5x + 6 = 0 är p = −5 och q = 6. Formeln ger x = 2,5 ± √(6,25 − 6) = 2,5 ± 0,5. Alltså x = 3 eller x = 2.

Har du i stället 2x² − 10x + 12 = 0 dividerar du varje term med två. Då får du samma ekvation som ovan.

Uttrycket under roten avgör antalet reella lösningar: positivt ger två, noll ger en dubbelrot och negativt ger inga reella lösningar.

Öva på andragradsekvationer med facit

Uppgift 1

Lös x² − 7x + 12 = 0.

Uppgift 2

Lös x² + 4x + 4 = 0.

Uppgift 3

Har x² + 1 = 0 någon reell lösning?