Logaritmer – logaritmlagar och exponentialekvationer

Vad betyder en logaritm?

Eftersom 10³ = 1 000 är tiologaritmen av 1 000 lika med 3. Vi skriver lg(1 000) = 3. Logaritmen talar om vilken exponent som basen tio ska ha.

För reella logaritmer måste a vara positivt. Basen b ska vara positiv och får inte vara ett. Tiologaritmen har bas tio. Den naturliga logaritmen, ln, har basen e.

Det finns inte en reell logaritm av noll eller ett negativt tal. Däremot kan själva logaritmens värde vara negativt: lg(0,01) = −2 eftersom 10⁻² = 0,01.

Repetera potenser och potensregler om sambandet mellan bas och exponent känns oklart.

Tre logaritmlagar med exempel

För samma giltiga bas, positiva a och b samt ett reellt tal r gäller följande:

• Produkt: log(ab) = log(a) + log(b).
• Kvot: log(a/b) = log(a) − log(b).
• Potens: log(a^r) = r · log(a).

Exempel med bas tio: lg(100 · 10) = lg(100) + lg(10) = 2 + 1 = 3. För kvoten får vi lg(100/10) = 2 − 1 = 1.

Potensregeln gör att en exponent kan flyttas framför logaritmen. Det är användbart när exponenten är okänd.

Lös en exponentialekvation

I 2^x = 10 är det x i exponenten som vi vill hitta. Ta tiologaritmen på båda sidor och använd potensregeln.

1. lg(2^x) = lg(10).
2. x · lg(2) = 1.
3. x = 1/lg(2) ≈ 3,322.

Värdet ligger mellan tre och fyra. Det är rimligt eftersom 2³ = 8 och 2⁴ = 16. Använd gärna det orundade värdet i räknaren när du kontrollerar svaret.

För a^x = b kan samma metod skrivas x = lg(b)/lg(a), när a > 0, a ≠ 1 och b > 0. Du kan också använda ln på både täljare och nämnare.

Öva på logaritmer med facit

Uppgift 1

Beräkna lg(100) och lg(0,001).

Uppgift 2

Lös 10^x = 500. Avrunda till tre decimaler.

Uppgift 3

Lös 3 · 2^x = 24.