Sannolikhet – tärningar, träddiagram och exempel

När utfallen är lika sannolika

Om alla möjliga utfall har samma sannolikhet kan du räkna antalet gynnsamma utfall och dividera med antalet möjliga utfall.

En vanlig rättvis sexsidig tärning har utfallen 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Händelsen ”ett jämnt tal” har tre gynnsamma utfall: 2, 4 och 6. Sannolikheten är därför 3/6 = 1/2 = 50 %.

Sannolikheter ligger mellan noll och ett. Noll betyder omöjligt i modellen och ett betyder säkert. I mer allmänna situationer räcker det inte att räkna utfall; du behöver veta deras sannolikheter.

Vill du växla mellan bråk och procent? Repetera räkning med bråk och procent.

Två oberoende händelser

För oberoende händelser påverkar den ena händelsen inte sannolikheten för den andra. Då får du sannolikheten att båda inträffar genom att multiplicera.

Du kastar ett rättvist mynt och en rättvis tärning, oberoende av varandra. Sannolikheten för krona är 1/2 och för ett jämnt tärningstal 1/2. Båda samtidigt har sannolikheten 1/2 · 1/2 = 1/4.

Ett tidigare myntkast ändrar inte sannolikheten vid nästa oberoende kast. Att du har fått klave flera gånger gör inte krona mer sannolik nästa gång.

Träddiagram: med och utan återläggning

En påse innehåller tre röda och två blå kulor. Du drar en kula slumpmässigt och sedan en till. Utan återläggning finns fyra kulor kvar efter det första draget.

• Första kulan röd: 3/5.
  • Därefter röd: 2/4. Båda röda: 3/5 · 2/4 = 3/10.
  • Därefter blå: 2/4. Röd och sedan blå: 3/10.
• Första kulan blå: 2/5.
  • Därefter röd: 3/4. Blå och sedan röd: 3/10.
  • Därefter blå: 1/4. Båda blå: 1/10.

Listan visar grenarna i ett träddiagram. Multiplicera sannolikheterna längs en gren. Lägg ihop grenarnas sannolikheter när flera av dem motsvarar det du söker.

Med återläggning lägger du tillbaka den första kulan och blandar före nästa drag. Då är sannolikheten för rött åter 3/5, och två röda blir 3/5 · 3/5 = 9/25.

Minst en: använd komplementhändelsen

Ibland är det enklare att räkna det som inte ska hända. Komplementhändelsen till ”minst en krona på två myntkast” är ”ingen krona”, alltså två klavar.

Vid två oberoende kast med ett rättvist mynt är två klavar 1/2 · 1/2 = 1/4. Därför är sannolikheten för minst en krona 1 − 1/4 = 3/4.

Öva på sannolikhet med facit

Uppgift 1

Vad är sannolikheten att få ett tal större än fyra med en rättvis sexsidig tärning?

Uppgift 2

Två kulor dras utan återläggning ur påsen ovan. Vad är sannolikheten för en kula av varje färg?

Uppgift 3

Vad är sannolikheten för minst en sexa på två oberoende kast med en rättvis sexsidig tärning?